3.914 \(\int \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^3 (c+d \sin (e+f x))^n \, dx\)

Optimal. Leaf size=139 \[ -\frac{a^3 (c-d)^3 (c+d \sin (e+f x))^{n+1}}{d^4 f (n+1)}+\frac{3 a^3 (c-d)^2 (c+d \sin (e+f x))^{n+2}}{d^4 f (n+2)}-\frac{3 a^3 (c-d) (c+d \sin (e+f x))^{n+3}}{d^4 f (n+3)}+\frac{a^3 (c+d \sin (e+f x))^{n+4}}{d^4 f (n+4)} \]

[Out]

-((a^3*(c - d)^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^4*f*(1 + n))) + (3*a^3*(c - d)^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(2 + n
))/(d^4*f*(2 + n)) - (3*a^3*(c - d)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3 + n))/(d^4*f*(3 + n)) + (a^3*(c + d*Sin[e + f*x])^
(4 + n))/(d^4*f*(4 + n))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.165452, antiderivative size = 139, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 31, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.065, Rules used = {2833, 43} \[ -\frac{a^3 (c-d)^3 (c+d \sin (e+f x))^{n+1}}{d^4 f (n+1)}+\frac{3 a^3 (c-d)^2 (c+d \sin (e+f x))^{n+2}}{d^4 f (n+2)}-\frac{3 a^3 (c-d) (c+d \sin (e+f x))^{n+3}}{d^4 f (n+3)}+\frac{a^3 (c+d \sin (e+f x))^{n+4}}{d^4 f (n+4)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n,x]

[Out]

-((a^3*(c - d)^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d^4*f*(1 + n))) + (3*a^3*(c - d)^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(2 + n
))/(d^4*f*(2 + n)) - (3*a^3*(c - d)*(c + d*Sin[e + f*x])^(3 + n))/(d^4*f*(3 + n)) + (a^3*(c + d*Sin[e + f*x])^
(4 + n))/(d^4*f*(4 + n))

Rule 2833

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)
])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m*(c + (d*x)/b)^n, x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[
{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^3 (c+d \sin (e+f x))^n \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int (a+x)^3 \left (c+\frac{d x}{a}\right )^n \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left (-\frac{a^3 (c-d)^3 \left (c+\frac{d x}{a}\right )^n}{d^3}+\frac{3 a^3 (c-d)^2 \left (c+\frac{d x}{a}\right )^{1+n}}{d^3}-\frac{3 a^3 (c-d) \left (c+\frac{d x}{a}\right )^{2+n}}{d^3}+\frac{a^3 \left (c+\frac{d x}{a}\right )^{3+n}}{d^3}\right ) \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=-\frac{a^3 (c-d)^3 (c+d \sin (e+f x))^{1+n}}{d^4 f (1+n)}+\frac{3 a^3 (c-d)^2 (c+d \sin (e+f x))^{2+n}}{d^4 f (2+n)}-\frac{3 a^3 (c-d) (c+d \sin (e+f x))^{3+n}}{d^4 f (3+n)}+\frac{a^3 (c+d \sin (e+f x))^{4+n}}{d^4 f (4+n)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.319519, size = 105, normalized size = 0.76 \[ \frac{a^3 (c+d \sin (e+f x))^{n+1} \left (\frac{3 (c-d)^2 (c+d \sin (e+f x))}{n+2}-\frac{3 (c-d) (c+d \sin (e+f x))^2}{n+3}+\frac{(c+d \sin (e+f x))^3}{n+4}-\frac{(c-d)^3}{n+1}\right )}{d^4 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^3*(c + d*Sin[e + f*x])^n,x]

[Out]

(a^3*(c + d*Sin[e + f*x])^(1 + n)*(-((c - d)^3/(1 + n)) + (3*(c - d)^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(2 + n) - (3*(c -
d)*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(3 + n) + (c + d*Sin[e + f*x])^3/(4 + n)))/(d^4*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.458, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \cos \left ( fx+e \right ) \left ( a+a\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{3} \left ( c+d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^3*(c+d*sin(f*x+e))^n,x)

[Out]

int(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^3*(c+d*sin(f*x+e))^n,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^3*(c+d*sin(f*x+e))^n,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.36936, size = 1125, normalized size = 8.09 \begin{align*} -\frac{{\left (6 \, a^{3} c^{4} - 24 \, a^{3} c^{3} d + 36 \, a^{3} c^{2} d^{2} - 24 \, a^{3} c d^{3} - 42 \, a^{3} d^{4} -{\left (a^{3} d^{4} n^{3} + 6 \, a^{3} d^{4} n^{2} + 11 \, a^{3} d^{4} n + 6 \, a^{3} d^{4}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} - 4 \,{\left (a^{3} c d^{3} + a^{3} d^{4}\right )} n^{3} + 6 \,{\left (a^{3} c^{2} d^{2} - 4 \, a^{3} c d^{3} - 5 \, a^{3} d^{4}\right )} n^{2} +{\left (48 \, a^{3} d^{4} +{\left (3 \, a^{3} c d^{3} + 5 \, a^{3} d^{4}\right )} n^{3} - 3 \,{\left (a^{3} c^{2} d^{2} - 5 \, a^{3} c d^{3} - 12 \, a^{3} d^{4}\right )} n^{2} -{\left (3 \, a^{3} c^{2} d^{2} - 12 \, a^{3} c d^{3} - 79 \, a^{3} d^{4}\right )} n\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \,{\left (3 \, a^{3} c^{3} d - 12 \, a^{3} c^{2} d^{2} + 19 \, a^{3} c d^{3} + 34 \, a^{3} d^{4}\right )} n -{\left (48 \, a^{3} d^{4} + 4 \,{\left (a^{3} c d^{3} + a^{3} d^{4}\right )} n^{3} - 6 \,{\left (a^{3} c^{2} d^{2} - 4 \, a^{3} c d^{3} - 5 \, a^{3} d^{4}\right )} n^{2} -{\left (24 \, a^{3} d^{4} +{\left (a^{3} c d^{3} + 3 \, a^{3} d^{4}\right )} n^{3} + 3 \,{\left (a^{3} c d^{3} + 7 \, a^{3} d^{4}\right )} n^{2} + 2 \,{\left (a^{3} c d^{3} + 21 \, a^{3} d^{4}\right )} n\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 2 \,{\left (3 \, a^{3} c^{3} d - 12 \, a^{3} c^{2} d^{2} + 19 \, a^{3} c d^{3} + 34 \, a^{3} d^{4}\right )} n\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{n}}{d^{4} f n^{4} + 10 \, d^{4} f n^{3} + 35 \, d^{4} f n^{2} + 50 \, d^{4} f n + 24 \, d^{4} f} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^3*(c+d*sin(f*x+e))^n,x, algorithm="fricas")

[Out]

-(6*a^3*c^4 - 24*a^3*c^3*d + 36*a^3*c^2*d^2 - 24*a^3*c*d^3 - 42*a^3*d^4 - (a^3*d^4*n^3 + 6*a^3*d^4*n^2 + 11*a^
3*d^4*n + 6*a^3*d^4)*cos(f*x + e)^4 - 4*(a^3*c*d^3 + a^3*d^4)*n^3 + 6*(a^3*c^2*d^2 - 4*a^3*c*d^3 - 5*a^3*d^4)*
n^2 + (48*a^3*d^4 + (3*a^3*c*d^3 + 5*a^3*d^4)*n^3 - 3*(a^3*c^2*d^2 - 5*a^3*c*d^3 - 12*a^3*d^4)*n^2 - (3*a^3*c^
2*d^2 - 12*a^3*c*d^3 - 79*a^3*d^4)*n)*cos(f*x + e)^2 - 2*(3*a^3*c^3*d - 12*a^3*c^2*d^2 + 19*a^3*c*d^3 + 34*a^3
*d^4)*n - (48*a^3*d^4 + 4*(a^3*c*d^3 + a^3*d^4)*n^3 - 6*(a^3*c^2*d^2 - 4*a^3*c*d^3 - 5*a^3*d^4)*n^2 - (24*a^3*
d^4 + (a^3*c*d^3 + 3*a^3*d^4)*n^3 + 3*(a^3*c*d^3 + 7*a^3*d^4)*n^2 + 2*(a^3*c*d^3 + 21*a^3*d^4)*n)*cos(f*x + e)
^2 + 2*(3*a^3*c^3*d - 12*a^3*c^2*d^2 + 19*a^3*c*d^3 + 34*a^3*d^4)*n)*sin(f*x + e))*(d*sin(f*x + e) + c)^n/(d^4
*f*n^4 + 10*d^4*f*n^3 + 35*d^4*f*n^2 + 50*d^4*f*n + 24*d^4*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 173.645, size = 5722, normalized size = 41.17 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))**3*(c+d*sin(f*x+e))**n,x)

[Out]

Piecewise((c**n*(a**3*sin(e + f*x)**3/f - a**3*sin(e + f*x)**2*cos(e + f*x)**2/(2*f) + a**3*sin(e + f*x)/f - a
**3*cos(e + f*x)**4/(4*f) - 3*a**3*cos(e + f*x)**2/(2*f)), Eq(d, 0)), (x*(c + d*sin(e))**n*(a*sin(e) + a)**3*c
os(e), Eq(f, 0)), (6*a**3*c**4*log(c/d + sin(e + f*x))/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*
d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3) + 5*a**3*c**4/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x
) + 18*c**2*d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3) + 18*a**3*c**3*d*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(
e + f*x)/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*
x)**3) + 9*a**3*c**3*d*sin(e + f*x)/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*d**6*f*sin(e + f*x)
**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3) + 18*a**3*c**2*d**2*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)**2/(6*c**4*d**4*f +
18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3) - 3*a**3*c**2*d**2
/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3) +
6*a**3*c*d**3*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)**3/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*
d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3) - 6*a**3*c*d**3*sin(e + f*x)**3/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*
d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3) - 9*a**3*c*d**3*sin(e + f*x
)/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3)
- 2*a**3*c*d**3/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*d**6*f*sin(e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin
(e + f*x)**3) + 6*a**3*d**4*sin(e + f*x)**3/(6*c**4*d**4*f + 18*c**3*d**5*f*sin(e + f*x) + 18*c**2*d**6*f*sin(
e + f*x)**2 + 6*c*d**7*f*sin(e + f*x)**3), Eq(n, -4)), (-6*a**3*c**3*log(c/d + sin(e + f*x))/(2*c**2*d**4*f +
4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2) - 9*a**3*c**3/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2
*d**6*f*sin(e + f*x)**2) - 12*a**3*c**2*d*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin
(e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2) + 6*a**3*c**2*d*log(c/d + sin(e + f*x))/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(
e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2) - 12*a**3*c**2*d*sin(e + f*x)/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) +
2*d**6*f*sin(e + f*x)**2) + 9*a**3*c**2*d/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2)
- 6*a**3*c*d**2*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)**2/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f*s
in(e + f*x)**2) + 12*a**3*c*d**2*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x)
+ 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2) + 12*a**3*c*d**2*sin(e + f*x)/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f
*sin(e + f*x)**2) - 3*a**3*c*d**2/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2) + 6*a**
3*d**3*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)**2/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x
)**2) + 2*a**3*d**3*sin(e + f*x)**3/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2) - 6*a
**3*d**3*sin(e + f*x)/(2*c**2*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2) - a**3*d**3/(2*c**2
*d**4*f + 4*c*d**5*f*sin(e + f*x) + 2*d**6*f*sin(e + f*x)**2), Eq(n, -3)), (6*a**3*c**4*log(c/d + sin(e + f*x)
)/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) + 6*a**3*c**4/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) + 6*a**3*c
**3*d*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) - 12*a**3*c**3*d*log(c/d
+ sin(e + f*x))/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) - 12*a**3*c**3*d/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e +
f*x)) - 12*a**3*c**2*d**2*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) + 6*
a**3*c**2*d**2*log(c/d + sin(e + f*x))/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) + 3*a**3*c**2*d**2*cos(e + f*
x)**2/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) + 6*a**3*c**2*d**2/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) +
6*a**3*c*d**3*log(c/d + sin(e + f*x))*sin(e + f*x)/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) + 4*a**3*c*d**3*
sin(e + f*x)**3/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) + 3*a**3*c*d**3*sin(e + f*x)*cos(e + f*x)**2/(2*c**2
*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) - 6*a**3*c*d**3*cos(e + f*x)**2/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) -
2*a**3*c*d**3/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)) - 6*a**3*d**4*sin(e + f*x)**3/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d*
*5*f*sin(e + f*x)) - 6*a**3*d**4*sin(e + f*x)*cos(e + f*x)**2/(2*c**2*d**4*f + 2*c*d**5*f*sin(e + f*x)), Eq(n,
-2)), (-a**3*c**3*log(c/d + sin(e + f*x))/(d**4*f) + 3*a**3*c**2*log(c/d + sin(e + f*x))/(d**3*f) + a**3*c**2
*sin(e + f*x)/(d**3*f) - 3*a**3*c*log(c/d + sin(e + f*x))/(d**2*f) - 3*a**3*c*sin(e + f*x)/(d**2*f) + a**3*c*c
os(e + f*x)**2/(2*d**2*f) + a**3*log(c/d + sin(e + f*x))/(d*f) + a**3*sin(e + f*x)**3/(3*d*f) + 3*a**3*sin(e +
f*x)/(d*f) - 3*a**3*cos(e + f*x)**2/(2*d*f), Eq(n, -1)), (-6*a**3*c**4*(c + d*sin(e + f*x))**n/(d**4*f*n**4 +
10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 6*a**3*c**3*d*n*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e +
f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 6*a**3*c**3*d*n*(c + d*sin(e
+ f*x))**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 24*a**3*c**3*d*(c + d*s
in(e + f*x))**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) - 3*a**3*c**2*d**2*n
**2*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**2/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*
d**4*f) - 6*a**3*c**2*d**2*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f
*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) - 3*a**3*c**2*d**2*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3
+ 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) - 3*a**3*c**2*d**2*n*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**2/(d**
4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) - 24*a**3*c**2*d**2*n*(c + d*sin(e + f*x
))**n*sin(e + f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) - 21*a**3*c**2*d*
*2*n*(c + d*sin(e + f*x))**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) - 36*a*
*3*c**2*d**2*(c + d*sin(e + f*x))**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f)
+ a**3*c*d**3*n**3*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**3/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 5
0*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 3*a**3*c*d**3*n**3*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**2/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*
n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 3*a**3*c*d**3*n**3*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)/(d*
*4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + a**3*c*d**3*n**3*(c + d*sin(e + f*x))
**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 3*a**3*c*d**3*n**2*(c + d*sin(
e + f*x))**n*sin(e + f*x)**3/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 15*a*
*3*c*d**3*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**2/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**
4*f*n + 24*d**4*f) + 21*a**3*c*d**3*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 +
35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 9*a**3*c*d**3*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*
f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 2*a**3*c*d**3*n*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**3/(
d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 12*a**3*c*d**3*n*(c + d*sin(e + f*x
))**n*sin(e + f*x)**2/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 36*a**3*c*d*
*3*n*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d*
*4*f) + 26*a**3*c*d**3*n*(c + d*sin(e + f*x))**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n
+ 24*d**4*f) + 24*a**3*c*d**3*(c + d*sin(e + f*x))**n/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4
*f*n + 24*d**4*f) + a**3*d**4*n**3*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**4/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*
d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 3*a**3*d**4*n**3*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**3/(d**4*f*n**4
+ 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 3*a**3*d**4*n**3*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e
+ f*x)**2/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + a**3*d**4*n**3*(c + d*s
in(e + f*x))**n*sin(e + f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 6*a**
3*d**4*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**4/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f
*n + 24*d**4*f) + 21*a**3*d**4*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**3/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35
*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 24*a**3*d**4*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**2/(d**4*f*n*
*4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 9*a**3*d**4*n**2*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin
(e + f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 11*a**3*d**4*n*(c + d*si
n(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**4/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 42*
a**3*d**4*n*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**3/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f
*n + 24*d**4*f) + 57*a**3*d**4*n*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**2/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d*
*4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 26*a**3*d**4*n*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d
**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 6*a**3*d**4*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**4/(
d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 24*a**3*d**4*(c + d*sin(e + f*x))**
n*sin(e + f*x)**3/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f) + 36*a**3*d**4*(c
+ d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**2/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*f*n + 24*d**4*f)
+ 24*a**3*d**4*(c + d*sin(e + f*x))**n*sin(e + f*x)/(d**4*f*n**4 + 10*d**4*f*n**3 + 35*d**4*f*n**2 + 50*d**4*
f*n + 24*d**4*f), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.22337, size = 1351, normalized size = 9.72 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^3*(c+d*sin(f*x+e))^n,x, algorithm="giac")

[Out]

(((d*sin(f*x + e) + c)^4*(d*sin(f*x + e) + c)^n*n^3 - 3*(d*sin(f*x + e) + c)^3*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c*n^3 +
3*(d*sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^2*n^3 - (d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^3*n^3
+ 6*(d*sin(f*x + e) + c)^4*(d*sin(f*x + e) + c)^n*n^2 - 21*(d*sin(f*x + e) + c)^3*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c*n^2
+ 24*(d*sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^2*n^2 - 9*(d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^
3*n^2 + 11*(d*sin(f*x + e) + c)^4*(d*sin(f*x + e) + c)^n*n - 42*(d*sin(f*x + e) + c)^3*(d*sin(f*x + e) + c)^n*
c*n + 57*(d*sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^2*n - 26*(d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*
c^3*n + 6*(d*sin(f*x + e) + c)^4*(d*sin(f*x + e) + c)^n - 24*(d*sin(f*x + e) + c)^3*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c +
36*(d*sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^2 - 24*(d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^3)*a^
3/(d^3*n^4 + 10*d^3*n^3 + 35*d^3*n^2 + 50*d^3*n + 24*d^3) + 3*((d*sin(f*x + e) + c)^3*(d*sin(f*x + e) + c)^n*n
^2 - 2*(d*sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c*n^2 + (d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^2*n
^2 + 3*(d*sin(f*x + e) + c)^3*(d*sin(f*x + e) + c)^n*n - 8*(d*sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c*n +
5*(d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^2*n + 2*(d*sin(f*x + e) + c)^3*(d*sin(f*x + e) + c)^n - 6*(d*
sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c + 6*(d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c^2)*a^3/(d^2*n^3
+ 6*d^2*n^2 + 11*d^2*n + 6*d^2) + (d*sin(f*x + e) + c)^(n + 1)*a^3/(n + 1) + 3*((d*sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin
(f*x + e) + c)^n*n - (d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c*n + (d*sin(f*x + e) + c)^2*(d*sin(f*x + e)
+ c)^n - 2*(d*sin(f*x + e) + c)*(d*sin(f*x + e) + c)^n*c)*a^3/((n^2 + 3*n + 2)*d))/(d*f)